🇹🇷 Anne/Baba için not: Zeynep her gün 1 sekme (tab) bitirsin ve o konudan en az 2 soru çözsün. Yanlışları bir deftere yazsın, sınavdan önce sadece yanlışları tekrar etsin. Panik yok – sistematik çalışınca bu konular kolay.
🇹🇷 Türkçe: Aynı tabanı çarparken üsleri topla, bölerken çıkar, üssün üssü varsa çarp. Bu 3 kuralı ezberle, gerisi gelir.
② Lineares vs. exponentielles Wachstum
Erkennen, welches Wachstum vorliegt – und die Gleichung aufstellen.
📏 Linear
In jedem Schritt kommt derselbe Betrag dazu (+).
f(x) = m·x + b
Bsp: jeden Monat +100 € sparen.
0 → 100 → 200 → 300 (immer +100)
📈 Exponentiell
In jedem Schritt wird mit demselben Faktor mal-genommen (×).
f(x) = b·aˣ
Bsp: Bakterie verdoppelt sich.
3 → 6 → 12 → 24 (immer ×2)
So erkennst du es (Wertetabelle)
Differenz immer gleich (+ c) → linear
Quotient immer gleich (× a) → exponentiell
Wachstumsfaktor aus Prozent
Zunahme um p %
a = 1 + p/100
Abnahme um p %
a = 1 − p/100
+5 % → a = 1,05 · · · −20 % → a = 0,8 · · · +100 % → a = 2
🇹🇷 Türkçe: Her adımda aynı sayı eklenirse doğrusal, aynı sayıyla çarpılırsa üstel. %5 artış → faktör 1,05; %20 azalış → 0,8.
③ Die Exponentialfunktion
f(x) = b · aˣ — die zwei Bausteine verstehen.
f(x) = b · ax
b = Anfangswert
f(0) = b
Wert bei x = 0 (Schnittpunkt y-Achse)
a = Wachstumsfaktor
a > 0, a ≠ 1
a>1 wächst · 0<a<1 fällt
Beispiel: f(x) = 3 · 2ˣ
x = 0 → 3 · 2⁰ = 3
x = 1 → 3 · 2¹ = 6
x = 2 → 3 · 2² = 12
x = 3 → 3 · 2³ = 24
Anfangswert 3, verdoppelt sich jedes Mal.
Monotonie · Asymptote · Verhalten
a > 1: streng monoton steigend
0 < a < 1: streng monoton fallend
Asymptote: die x-Achse, also y = 0 (der Graph berührt sie nie)
Verhalten |x|→∞: auf einer Seite gegen 0, auf der anderen gegen ±∞
🇹🇷 Türkçe: b = başlangıç değeri (x=0'da çıkan sayı), a = büyüme faktörü. a>1 ise grafik yükselir, 0<a<1 ise alçalır. Grafik y=0 çizgisine değmez (asimptot).
④ Graph live ausprobieren
Schiebe die Regler und sieh, wie sich der Graph ändert. So verstehst du jede Aufgabe.
f(x) = 1 · 2ˣ
f(x)=b·aˣ+ c (hoch/runter)ax+c (links/rechts)c·b·aˣ (strecken)ac·x (stauchen)
2.0
1.0
0.0
🇹🇷 Türkçe: a'yı büyüt → grafik dikleşir. b işaretini değiştir → grafik x ekseninin altına/üstüne geçer. c ile grafiği kaydır. Asimptot (kesikli çizgi) nereye gidiyor, gör.
⑤ Transformationen
Wie entsteht der Graph aus f(x) = b·aˣ?
Die 4 Fälle (sehr wichtig!)
f(x) = b·aˣ + c → Graph nach oben (c>0) bzw. unten (c<0). Asymptote wird y = c.
f(x) = b·ax+c → Graph nach links (c>0) bzw. rechts (c<0).
f(x) = c·b·aˣ → Graph in y-Richtung gestreckt (|c|>1) / gestaucht; c<0 spiegelt an x-Achse.
f(x) = b·ac·x → Graph in x-Richtung gestaucht (|c|>1) / gestreckt; c<0 spiegelt an y-Achse.
Merksatz: innen vs. außen
Außen (mit y, also +c oder ·c) = wirkt senkrecht (hoch/runter, strecken) – „so wie man denkt".
Innen (beim x, also x+c oder c·x) = wirkt waagerecht und genau andersrum als man denkt (x+2 → nach links!).
🇹🇷 Türkçe: Dışarıda (+c) → yukarı/aşağı. İçeride (x+c) → sola/sağa ve ters yönde (x+2 sola gider!). Eksiyle çarpma (·c, c<0) → ayna görüntüsü.
👉 Tipp
Probier jeden Fall im Tab „④ Graph live" mit dem Regler „Parameter c" direkt aus!
⑥ Euler'sche Zahl e & ln
Die wichtigste Basis der Mathematik.
Die Zahl e
e ≈ 2,71828…
Eine feste Zahl (wie π). Die Funktion f(x) = eˣ heißt natürliche Exponentialfunktion.
f(x) = eˣ → steigt, geht durch (0|1), Asymptote y = 0
f(x) = −eˣ → an der x-Achse gespiegelt
f(x) = e−x → an der y-Achse gespiegelt (fällt)
Der natürliche Logarithmus ln
ln ist die Umkehrung von eˣ. „ln(x) = welche Hochzahl von e ergibt x?"
Basis-Werte
ln(1)=0, ln(e)=1
Hebt sich auf
ln(eˣ)=x, eln x=x
🇹🇷 Türkçe: e ≈ 2,72 sabit bir sayı. ln, eˣ'in tersidir. ln(1)=0, ln(e)=1. Üstel denklemlerde her iki tarafa ln uygulayıp x'i yalnız bırakırsın.
⑦ Logarithmus
Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens.
Grundidee
2³ = 8 ⟺ log₂(8) = 3
„log₂(8) = Welche Hochzahl von 2 ergibt 8?" → Antwort: 3.
Allgemein: ax = b ⟺ x = loga(b)
Die 3 Logarithmusgesetze Niveau 2–3
log(u·v) = log u + log v (mal → plus)
log(u : v) = log u − log v (geteilt → minus)
log(ur) = r · log u (Hochzahl darf nach vorn)
Basiswechsel (für den Taschenrechner)
loga(b) = ln(b) / ln(a)
🧮 Log-Rechner
loga(b): a =
b =
log₂(8) = 3
🇹🇷 Türkçe: log "kaçıncı kuvvet?" demek. Çarpma → toplama, bölme → çıkarma, üs → öne kat sayı olarak çıkar. Hesap makinesinde: log_a(b) = ln(b)/ln(a).
⑧ Exponentialgleichungen lösen
Drei Typen – erkenne den Typ, dann ist der Weg klar.
Typ I — direkt mit log/ln b·aˣ − c = 0
Term isolieren, dann logarithmieren.
3 · 2ˣ = 48
2ˣ = 16
x = log₂(16) = 4 (oder ln16/ln2)
Typ II — Ausklammern + Satz vom Nullprodukt
Wenn x in jedem Summanden steckt → gemeinsamen Faktor ausklammern.
eˣ·x − 3eˣ = 0
eˣ·(x − 3) = 0
eˣ ist nie 0 → also x − 3 = 0 → x = 3
S.v.N.: Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
Typ III — Substitution
Bei eᵇ²ˣ-Termen: setze u = eˣ (dann ist e2x = u²).
e2x − 5·eˣ + 6 = 0
u² − 5u + 6 = 0 (u = eˣ)
u = 2 oder u = 3 (pq-/Mitternachtsformel)
eˣ = 2 → x = ln2 · eˣ = 3 → x = ln3
🇹🇷 Türkçe: Tip I: terimi yalnız bırak, log al. Tip II: ortak çarpan parantezine al, çarpım sıfırsa bir çarpan sıfırdır (eˣ asla 0 olmaz!). Tip III: u = eˣ koy, ikinci derece denklem çöz, sonra geri koy.
🎯 Gemischtes Quiz
Erst selbst rechnen, dann „Lösung zeigen". Notiere, was du falsch hast.
💪 Du schaffst das, Zeynep!
Jeden Tag ein bisschen. Verstehen schlägt auswendig lernen.
🧠 Üben mit System
Aktives Abrufen + Wiederholung mit Köpfchen. So bleibt es wirklich im Kopf.
🔬 Warum diese Methode wirkt
Active Recall: erst selbst denken, dann Lösung aufdecken (nicht nur lesen!)
Spaced Repetition: Schwere Karten kommen öfter, leichte seltener (Box 1→5)
Interleaving: Themen gemischt – wie in der echten KA
Selbsteinschätzung: erst Sicherheit angeben, dann prüfen
Dein Fortschritt wird auf diesem Gerät gespeichert. Ziel: alle Karten in Box 4–5.
🇹🇷 Nasıl çalışmalı: Soruyu oku, kafanda çöz, sonra ne kadar emin olduğunu seç → cevap açılır. Doğru bildiysen „Gewusst" (kart bir üst kutuya çıkar), bilemediysen „Nochmal" (kart 1. kutuya döner). Zor kartlar daha sık gelir. Hedef: tüm kartları Box 4–5'e taşımak.
Thema wählen
🔀 Alle gemischt① Potenz② Wachstum③ Exp-Funktion⑤ Transform.⑥ e & ln⑦ Logarithmus⑧ Gleichungen
0 gemeistert↺ Fortschritt zurücksetzen
📝 Probeklausur
Wie in der echten KA: Die Zeit läuft, am Ende gibt's eine Note.
Bereit, Zeynep?
Du bekommst zufällige Aufgaben aus allen Themen gemischt. Rechne auf Papier, dann „Lösung zeigen" und ehrlich „Richtig/Falsch" tippen. Ca. 2 Minuten pro Aufgabe.
🇹🇷 Türkçe: Gerçek sınav provası. Süre işliyor, kağıt-kalemle çöz, sonra cevaba bak ve dürüstçe „Richtig" (doğru) / „Falsch" (yanlış) işaretle. Sonunda puan + not + zayıf konular çıkar. Yanlışların otomatik Fehlerheft'e gider.
Aufgabe 120:00
📕 Mein Fehlerheft
Alle Aufgaben, die du falsch hattest – gezielt wiederholen statt alles nochmal.
🔗 Graph zuordnen
Welche Funktionsgleichung gehört zum gezeigten Graphen?
Punkte: 0 · Serie: 0 🔥
🇹🇷 Türkçe: Grafiğe bak — yükseliyor mu düşüyor mu (a>1 mi 0<a<1 mi), y eksenini nerede kesiyor (b), yukarı/aşağı kaymış mı (c)? Doğru denklemi seç. Doğru bildikçe seri (🔥) artar.
📊 Mein Fortschritt
Wo stehst du? Alles auf einen Blick – damit du weißt, was noch dran ist.
🧮 Gleichungslöser
Gib eine Exponentialgleichung ein – ich zeige den Lösungsweg Schritt für Schritt.
2^x=163·2^x=485·2^x−3=37e^x=204·3^x=324
🇹🇷 Format:k*taban^x +/- m = c şeklinde yaz (örn. 3*2^x=48). Taban bir sayı veya e olabilir. „^" = üs, „*" = çarpma. Çözücü adım adım gösterir.
📄 Formelsammlung & Wörterbuch
Alles Wichtige auf einer Seite – zum Drucken oder schnell Nachschlagen.
Potenzgesetze
aᵐ · aⁿ = am+n
aᵐ : aⁿ = am−n
(aᵐ)ⁿ = am·n
a⁰ = 1 · a⁻ⁿ = 1/aⁿ · a1/n = ⁿ√a
Exponentialfunktion & Wachstum
f(x) = b · aˣ b = Anfangswert = f(0) · a = Wachstumsfaktor
Zunahme um p %: a = 1 + p/100 Abnahme um p %: a = 1 − p/100